1:24 La méthode par emprunt ou "cassage" ( Singapour ...)
5:09 La méthode par compensation (conservation des écarts)

1- La méthode par emprunt ou "cassage" fut utilisée en 1140 par Rabbi Ben Ezra (1092-1167) un mathématicien né à Tolède (au centre de l'Espagne) et mort à Rouen. Cette méthode fut enseignée en France au début du XIXème siècle donc rien de nouveau sous le Soleil !
- Avantages : c'est la plus proche du système de numération ; la plus facile à traduire par la manipulation ; elle est facile à vérifier en additionnant le résultat et le nombre du bas.
- Inconvénients : elle peut poser un problème de présentation (chiffres barrés), notamment si on pose les soustractions dans la division ; il faut une maitrise approfondie du système décimal.

2- La méthode par compensation c'est à dire par conservation des écarts. Cette dernière est la plus utilisée en France. Elle fut utilisée notamment par Leonardo Fibonacci (vers 1175 à Pise - vers 1250) mais pas sous sa forme "moderne".
- Avantages : pas de ratures et rapide.
- Inconvénients : écriture complexe (double écriture de la "retenue") ; Elle manque de sens pour beaucoup d'élèves (d'où vient cet emprunt externe ?) ; on doit avoir compris la notion de conservation des écarts.

L'abaque "disparait" après la Révolution, avec l'apparition du système métrique, du papier bon marché, et du développement de nouvelles méthodes ne nécessitant plus de rayer les chiffres en cours de calcul.

Remerciements à D. Gros, ancien conseiller pédagogique spécialiste en mathématiques, pour ses nombreux conseils et pour le temps passé à débattre ! ^^